INTRODUCCION A LOS NÚMEROS REALES

Para empezar el estudio de los números reales es recomendable , hacer un repaso de los conjuntos numéricos que lo conforman , así como sus operaciones y propiedades.

  

Números Naturales (N)

Los números naturales son aquellos que nos sirven para contar 1,2,3,4,5,....Los números naturales forman un conjunto que se nota con  (N).
El conjunto de números naturales es ordenado, es decir, dados dos naturales cualesquiera uno de ellos es menor que otro. Los símbolos que se utilizar para establecer la relacion de orden entre dos números son:

Adicion.

 Es una operación binaria en la que, dados dos números llamados sumandos, se reúnen en uno sólo llamado suma.

Propiedades de la suma
1.Interna: 
2. Asociativa: 
(a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8
10 = 1
3.Conmutativa: 
a + b = b + a
2 + 5 = 5 + 2
7 = 7
4. Elemento neutro:
 a + 0 = a
3 + 0 = 3a + b 

Sustracción. 

Es la operación en la que buscamos un sumando desconocido, conociendo otro sumando y la suma.

Propiedades de la resta

1. No es una operación interna

2 − 5  

2. No es Conmutativa

5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación.

 Se define como una suma abreviada de sumandos iguales. El sumando que se repite es llamado multiplicando, el número que indica las veces que se toma dicho sumando es llamado multiplicador. Ambos, el multiplicando y el multiplicador son llamados factores El resultado se llama producto.

Propiedades de la multiplicación

1. Interna: a · b 

2. Asociativa: 

(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)

6 · 5 = 2 · 15

30 = 30 

3. Conmutativa: a · b = b · a

2 · 5 = 5 · 2

10 = 10

4. Elemento neutro: a · 1 = a

3 · 1 = 3

5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c

2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5

2 · 8 = 6 + 10

16 = 16

6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c

2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)

6 + 10 = 2 · 8

16 = 16

División.

 Operación inversa de la multiplicación que consiste en calcular el valor de un factor en una multiplicación donde se conoce un factor y el producto.

Propiedades de la división
1.División exacta 
          15 = 5 · 3
2. División entera
            17 = 5 · 3 + 2
3. No es una operación interna
2 : 6  
4. No es Conmutativo.
6 : 2 ≠ 2 : 6
5. Cero dividido entre cualquier número da cero.
0 : 5 = 0
6. No se puede dividir por 0.

POTENCIACION DE NÚMEROS NATURALES
Es la operación que consiste en repetir como factor un número (multiplicar ese  número varias veces), llamado base, tantas veces como unidades tiene otro llamado exponente. El resultado se llama potencia.
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.
5 · 5 · 5 · 5 = 5⁴
Base
La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5.
Exponente
El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.
potencias con base  10 
Una potencia de 10 como base es igual a uno seguido de tantos ceros como unidades tenga el exponente.
10 elevado a 1 = 10
10 elevado a 2 = 100
10 elevado a 3 = 1000
Propiedades de las potencias
1.a⁰ = 1
2. a¹ = a
3. Producto de potencias con la misma base
        a^m · a ⁿ = a^m+n
          2⁵ · 2² = 2⁵⁺² = 2⁷
4. Cociente de potencias con la misma base:
 a ^m : a ⁿ = a^{m - n}
 2 ⁵ : 2² = 2^{5 - 2} = 2³
5. Potencia de una potencia: (a^m)ⁿ = a^{m · n}  
    (2 ⁵)³ = 2¹⁵ 
6. Producto de potencias con el mismo exponente:
  a   ⁿ · b ⁿ = (a · b)
   2³ · 4³ =  8³
7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

  aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ
   6³ : 3³ = 2³
Prioridades en las operaciones

1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..

2º.Calcular las potencias y raíces.

3º.Efectuar los productos y cocientes.

4º.Realizar las sumas y restas.

RADICACION DE NUMEROS NATURALES

La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.

En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.

La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b,elevado al cuadrado es igual al radicando:b² = a.

Raíz cuadrada exacta

La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0.

Radicando = (Raíz exacta)²

Cuadrados perfectos

Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...

Raíz cuadrada entera

Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.

             Radicando = (Raíz entera)2 + Resto
Propiedades de las raíces
1.Raíz exacta: Radicando= (Raíz)²    ç

2. Raíz entera: Radicando= (Raíz)² + Resto

Las operaciones fundamentales con números naturales son de gran utilidad para la resolución de diversos problemas que se presentan con frecuencia.

No existe un procedimiento único para resolver un problema, éste depende de la creatividad e imaginación de quien lo intenta resolver; sin embargo, se sugiere no olvidar:

1.Leer y analizar su contenido, diferenciando datos e incógnitas.

2.Elegir y efectuar las operaciones adecuadas.

3.Dar solución al problema.

Ejemplo:

La rueda de una bicicleta gira 72 veces por minuto, ¿cuántas veces girará  en una hora?

Análisis y diferenciación de datos.

Cada minuto que pasa la rueda gira 72 veces.

1 minuto = 72 giros

El tiempo total en una hora es equivalente a 60 minutos.

1 hora = 60 minutos

Operaciones:

Se multiplica 72, que son los giros por minuto por 60, que son los minutos que tiene una hora.

72 x 60 = 4 320

Solución del problema:

4 320 veces girará la rueda en una hora.

Otro ejemplo, donde se utiliza más de una operación es el siguiente:

Una fabrica cuenta con 183 trabajadores. Si se suspenden temporalmente 5 secretarias, 2 choferes y 4 supervisores, con cuántos empleados contará, durante las suspensiones?

Solución.

Para conocer el total de personas suspendidas se utiliza una adici�n.

Luego, al total de trabajadores antes de la suspensión se le resta el total de suspendidos.

Por lo tanto, los empleados que laborarán durante la suspensión serán 172.

Otra forma de resolver este problema es realizar sustracciones sucesivas.

Observase que en la resolución de un problema, lo importante es llegar al resultado correcto, sin importar el camino utilizado.

Números Enteros(Z)

Es el conjunto de números formados por los naturales, más los naturales con signo negativo, más el cero. La letra que lo representa es la Z.

Z={... ... ... -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ... ... ...} El conjunto de los números enteros es ilimitado en sentido de los negativos y en sentido de los positivos. Los números naturales están incluidos en los números enteros, son los enteros positivos. Es conveniente buscar la forma más simple de expresar un número, por eso, para escribir un número entero positivo es preferible no poner el signo + y dejarlo en forma de número natural.

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

Suma

1. Si los números enteros tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le coloca el signo común.  ( ó el que tienen los números )

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = − 8

2. Si números enteros son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le coloca el signo del número de mayor valor absoluto.

(− 3) + 5 = 2

7 + (−5) = − 2

13 + (-17) = -4

(-16)  + 27 = 11

(-23)  + 35 = 12

PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

1. Interna o Clausurativa:

a + b pertenece a Z 

3 + (−5)  = (-2)

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]

5 − 5 = 2 + (− 2)

0 = 0

3. Conmutativa:

a + b = b + a

2 + (− 5) = (− 5) + 2

− 3 = − 3

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

(−5) + 0 = − 5

5. Elemento opuesto

a + (-a) = 0

5 + (−5) = 0

−(−5) = 5

Resta de números enteros

La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b)

7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros

1.Interna:

a − b  pertenece  Z 

10 − (−5)  

2. No es Conmutativa:

a - b ≠ b - a

5 − 2 ≠ 2 − 5

TALLER  I

Realizar

(-27) + 16

(-78) + (-86)

 (-47) +  66

81 - 16

93 - 36

(-176) - 236

(-272) - 23 6

 (-73) - (-456)

Multiplicación de números enteros

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos:   signos iguales da mas (+)

                       signos diferentes  da menos (-)

   +*+ = +; - * - = + ; +*- = -; -*+ = - 

   2 · 5 =   10
(−2) · (−5) = 10
2 · (−5) = − 10
(−2) · 5 = − 10

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna o Clausurativa:

a · b  pertenece a   Z 

2 · (−5) = -10 que pertenece a Z 

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]

6 · (−5) = 2 · (−15)

-30 = -30

3. Conmutativa:

a · b = b · a

2 · (−5) = (−5) · 2

-10 = -10

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

(−5)· 1 = (−5)

5. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c   con respecto a la suma

a · (b - c) = a · b - a · c     con respecto a la resta

Ejemplo:

(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2)· 8 =- 6 - 10

-16 = -16

6. Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

División de números enteros

La división de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

10 ÷ 5 = 2

(−10) ÷ (−5) = 2

10 ÷ (−5) = − 2

(−10) ÷ 5 = − 2

Propiedades de la división de números enteros

1. No es una operación interna:

(−2) ÷ 6  no pertenece a Z

2. No es Conmutativo:

a ÷ b ≠ b ÷ a

6 ÷ (−2) ≠ (−2) ÷ 6

TALLER 

Realizar

(-60) x (-4)

 (-270) x (-36)

(-478) x  66

1288 ÷ 56

 (-184) ÷ 23

(-682) ÷ (-62)

(-1125) ÷ (-45)

Potencia de números enteros

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

Propiedades

a⁰ = 1 ·

a¹ = a

a^m · a ⁿ = a^{m + n}
(−2)⁵ ·(−2)² = (−2)⁵⁺² = (−2)⁷ = −128

a^m : a ⁿ = a^{m - n}
(−2)⁵ : (−2)² = (−2)^{5 - 2} = (−2)³ = −8

(a^m)ⁿ = a^{m · n}
[(−2)³]² = (−2)⁶ = 64

aⁿ · b ⁿ = (a · b) ⁿ
(−2)³ · (3)³ = (−6) ³ = −216

aⁿ : b ⁿ = (a : b) ⁿ
(−6)³ : 3 ³ = (−2)³ = −8

Potencias de exponente entero negativo

4^-3 =  1/4³

9^-2 =  1/9²

8^-3 =  1/8³

TALLER  XIII

Realizar las siguientes potencias

(-9)³

(-6)³

 (-5)³

(-34)²                                              

(-32)²                                             

(-53)²    

(-5)^-3   

(-8)^-4

(-6)^-3                            

RADICACION DE NUMEROS ENTEROS

Raíz cuadrada de un número entero

Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo.

El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado número.

          

No existen  raíces pares de números negativo

Todas estas raíces no existen en los enteros

TALLER  

Realizar

OPERACIONES COMBINADAS CON NUMEROS ENTEROS

JERARQUIA DE LAS OPERACIONES

1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2º. Calcular las potencias y raíces.

3º. Efectuar los productos y cocientes.

4º. Realizar las sumas y restas.

1. SIN PARÉNTESIS

1.1 Sumas y diferencias.

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.

= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7

1.2 Sumas, restas y productos.

3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =

Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15

1.3   Sumas, restas , productos y divisiones.

10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10

1.4   Sumas, restas , productos , divisiones y potencias.

23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 16 : 4 =

Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.

= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =

Seguimos con los productos y cocientes.

= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 26

2. CON PARÉNTESIS

(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 23)=

Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.

= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=

Quitamos paréntesis realizando las operaciones.

= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18

3.Con paréntesis y corchetes

[15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =

Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.

= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =

Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.

= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2=

En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:

= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=

Operamos en los paréntesis.

= 12 · 7 − 3 + 2

Multiplicamos.

= 84 − 3 + 2=

Restamos y sumamos.

= 83

Ejemplos  de operaciones combinadas

14 − {7 + 4 · 3 - [(-2)2 · 2 - 6)]}+ (22 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 23 : 2) =

Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.

14 − [7 + 4 · 3 -(4 · 2 - 6)] + (4 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 8 : 2) =

Operamos con los productos y cocientes de los paréntesis.

14 − [7 +12 -(8 - 6)] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4) =

Realizamos las sumas y diferencias de los paréntesis.

14 − (7 +12 -2) + (-5) + 3 - (1) =

14 − (17) + (-5) + 3 - (1) =

La supresión de paréntesis ha de realizarse considerando que:

Si el paréntesis va precedido del signo   (+   ,)   se suprimirá manteniendo su signo los términos que contenga.

Si el paréntesis va precedido del signo    (−  ,)  al suprimir el paréntesis hay que cambiar de signo a todo los términos que contenga.

TALLER 

 Resolver

1.  (3 − 8) + [5 − (−2)] =

2.  [(−2)5 − (−3)3]2 =

3.  (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2)² =

4.  [(17 − 15)³ + (7 − 12)²] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =

5.  (7 − 2 + 4) − (2 − 5) =

7.  

 
9.
 
10.
 11
 12.

13.  2−2 · 2−3 · 24 =
14.  [(−2)^{− 2}] ³ · (−2)³ · (−2)⁴ =

15.  [(−2)⁶ : (−2)³ ]³ · (−2) · (−2)−4 =

TALLER  XVI

Resolver

a)  √ 81 + 74 + (-5)4

b)  √ 121 + 25 - 34  + 62 +  43   - 54

c)  √ 16 + 74 - √ 27- (-5)4 - √512

d)  3√ 64 - 74 - 3√ 216 - 74 + 3√1000 - 74 + (-5)4  - 74  + 3√125

NÚMEROS RACIONALES

Fracción

Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la siguiente forma:

b, denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad.

a, numerador, indica el numero de unidades fraccionarias elegidas.

Tipos de fracciones

Fracciones propias: Aquellas cuyo numerador es menor que el denominador.

Fracciones impropias:  Aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador.

Número mixto: Es el que está compuesto de parte entera y fraccionaria.

Para pasar de número mixto a fracción, se deja el mismo denominador y el numerador es la suma del producto del entero por el denominador más el numerador, del número mixto.

Para pasar una fracción impropia a número mixto, se divide el numerador por el denominador. El cociente es el entero del número mixto y el resto el numerador de la fracción, siendo el denominador el mismo.

Fracciones unitarias: Son aquellas cuyo numerador es igual al denominador.

Fracciones decimales: Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10.

Fracciones equivalentes: Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios.

a y d son los extremos; b y c, los medios.

Amplificación de fracciones

Amplificar una fracción significa representarla con números ms grandes, pero su valor no cambia.

Para amplificar lo que se hace es multiplicar  el numerador y el denominador  por un mismo numero.

 se  amplio  2 veces

A esta fracción la hemos ampliado dos veces, pero se puede multiplicar por cualquier numero.

    Se amplio  3 veces  

  


Se amplio  5  veces

Simplificación de fracciones

Simplificar una fracción significa representarla con números mas pequeños que los que tiene, pero su valor no cambia.

Para simplificar lo que se hace es dividir el numerador y el denominador  por un mismo numero, generalmente se divide por los números primos   (2,  3,  5,   7,   11,   13,   17,  19 ,  etc..)

Ejemplos:

Esta ya es una fracción irreducible , asi deben llegar todas  las simplificaciones  de fracciones.

 Esta fracción es irreducible

              

Fracciones irreducibles:Son aquellas que no se pueden simplificar.

Comparación de fracciones

Fracciones con igual denominador: De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor el que tiene menor numerador.

Fracciones con igual numerador: De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador.

Con numeradores y denominadores distintos.

En primer lugar las tenemos que poner a común denominador.

Es menor la que tiene menor numerador.

TALLER

Escribir 10 ejemplos de fracciones propias

Escribir 10 ejemplos de fracciones impropias

Escribir 10 ejemplos de números mixtos

TALLER 

Amplifica las siguientes fracciones

5/4 ,   3 veces

7/8 ,   6 veces

51/9 ,   8 veces

52/8 ,   9 veces

59/3 ,   11 veces

45/34 ,   13 veces

25/32 ,   15 veces

Simplifica las siguientes fracciones

320/200

280/900

128/48

228/68

230/560

En matemática, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo1 ) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo.

Este conjunto de números incluye a los números enteros (), y es un subconjunto de los números reales ().

 Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1.

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.
Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.

APLICACIÓN DE LOS NUMEROS RACIONALES

La fracción como partes de la unidad

El todo se toma como unidad. La fracción expresa un valor con relación a ese todo.

Un depósito contiene 2/3 de gasolina.

                                

El todo: el depósito. La unidad equivale a 3/3, en este caso; pero en general sería una fracción con el mismo número en el numerador y el denominador.

2/3 de gasolina expresa la relación existente entre la gasolina y la capacidad del depósito. De sus tres partes dos están ocupadas por gasolina.

La fracción como cociente

Repartir 4 € entre 5 amigos.
4/5    

La fracción como operador

Para calcular la fracción de un número, multiplicamos el numerador por el número y el resultado lo dividimos por el denominador.

Calcular los 2/3 de 60 €.

2 × 60= 120

120 ÷ 3 = 40 €
La fracción como razón y proporción

Cuando comparamos dos cantidades de una magnitud, estamos usando las fracciones como razones.

Así, cuando decimos que la proporción entre chicos y chicas en el Instituto es de 3 a 2, estamos diciendo que por cada 3 chicos hay 2 chicas, es decir, que de cada cinco estudiantes, 3 son chicos y 2 son chicas.

Un caso particular de aplicación de las fracciones como razón son los porcentajes, ya que éstos no son más que la relación de proporcionalidad que se establece entre un número y 100 (tanto por ciento), un número y mil (tanto por mil) o un número y uno (tanto por uno).

Luís compra una camisa por 35 €, le hacen un descuento del 10%. ¿Cuánto pagará por la camisa?

35 × 10 = 350

350 ÷ 100 = 3.5

35 − 3.5 = 31.5 €

TALLER    

Realizar  los siguientes ejercicios

Calcular :

2/3     de  28.345

2/8     de  23.148

2/9     de  2.476

12/13     de  128

15/13     de  1.128

28%  de  1.235

31%  de  4.235

67%  de  52.235

56%  de  1.345.235

89%  de  299.23

REPRESENTACION  EN LA RECTA NUMÉRICA DE UN RACIONAL

Los números racionales se representan en la recta junto a los números enteros.

Mas ejemplos

Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:

a.    4/3,    8/3,     -2/3,    -7/3

Solución:

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN RACIONAL

El todo se toma como unidad. La fracción expresa un valor con relación a ese todo.

Un depósito contiene 2/3 de gasolina.

Cuando se  representa la grafica  de un fracción conservar la unidad es muy importante porque es una actividad mas cerca a la realidad.

Ejemplos 

TALLER 
    

a). Representa en la recta numérica  los siguientes racionales

-11/3 ,  - 5/3  ,  2/3  , 7/3 ,  12/3  ,  17/3

-11/4 ,  - 5/4  ,  2/4  , 7/4 ,  12/4  ,  17/4

-11/7,  - 5/7  ,  2/7  , 7/7 ,  12/7  ,  17/7

-11/10 ,  - 5/10  ,  2/10  , 7/10 ,  12/10  ,  17/10

b). Representa gráficamente   los siguientes racionales  “conservando la unidad”

      11/3 ,   5/4  ,  2/2  , 7/5 ,  13/6  ,  19/7 , 21/8 ,  - 25/67  ,  22/9

OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

SUMA

Con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador

Con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

a)        Producto Cruz

b)     Homogenizando

A la primera fracción se la multiplica por el denominador de la segunda fracción y a la segunda fracción se la multiplica por el denominador de la primera. Así quedan con igual denominador y se suman ya  fracciones de igual denominador.

c)      El mínimo común múltiplo

Se encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores y  ese mínimo común múltiplo será el denominador de la fracción resultante, Se  divide el m.c.m   por cada denominador y el resultado se multiplica por su numerador y así se hace con todos.

 Cada resultado se va colocando en forma de suma o resta según la operación existente en el numerador y se procede a realizar la operación respectiva

Sacamos el mínimo común múltiplo de los denominadores

3         7      3

1         7      7

           1         
El mínimo común múltiplo es  3×7 =  21, este será el denominador de la Fracción resultante.

Ahora dividimos el m.c.m por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por su respectivo numerador.

       

Propiedades de la suma de números racionales

1. Interna:
El resultado de sumar dos números racionales es otro número racional.   

a + b  pertenece a Q 

2. Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

3. Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

4. Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

5. Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

a + (−a) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

Como consecuencia de estas propiedades, la diferencia de dos números racionales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

a − b = a + (−b)

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

El producto de dos números racionales es otro número racional que tiene:

Por numerador el producto de los numeradores.

Por denominador el producto de los denominadores.

Propiedades de la multiplicación de números racionales

1. Interna:  o  clausurativa

El resultado de multiplicar dos números racionales es otro número racional.

a · b pertenece a  Q

2. Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado.

(a · b) · c = a · (b · c)

3. Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

4. Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a ·1 = a

5. Elemento inverso:

Un número es inverso de otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

 

6. Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

7. Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

División de números racionales

La división de dos números racionales es otro número racional.

Para dividir lo podemos hacer de dos maneras:

a).  La división se convierte en multiplicación y los números de la fracción divisor ( segunda cambian de puesto).Y multiplicamos aomun y corriente.Numerdore con numerdores y Denominadores con denominadores.

Ejemplo

b).  Tomando la definición de división, colocamos la fracción divisor debajo de la fracción dividendo y multiplicamos los extremos, que serán el numerador de la fracción resultante y la multiplicación de los medios será el denominador.

Ejemplo

TALLER 
Realizar las siguientes sumas de fracciones

21/3 + 6/9

34/12 + 23/19

5/7 + 23/19

5/12 + 2/9 + 3/30

5/60+ 7/18+ 5/48+1/20

 5/2+2/30+5/20+10/40

b). Realizar las siguientes restas

59/3 - 23/56

35/33 - 3/7

65/31 - 5/9

21/3 - 6/9

34/12 - 23/19

5/3  - 23/1

c) Realizar las siguientes multiplicaciones de fracciones

52/8 x 22/6

59/3 x 23/56

5/3 x 4/93

5/3 x 8/99

5/3 x 21/27

d) Realizar las siguientes divisiones  de fracciones

59/3 ÷  23/56

34/12  ÷  23/19

5/3  ÷  4/93

5/3  ÷  8/99

5/3  ÷  21/27

POTENCIACION DE RACIONALES

Potencias de exponente entero y base racional

Propiedades

1.  Exponente  cero

  

2. Exponente  uno 

3. Producto de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

4. División de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

5. Potencia de una potencia:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

 

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

TALLER

Realizar las siguientes potencias

 (1/9)³

(1/9)⁴                                               

(2/8)⁶                                                

(9/3)⁰                                             

(45/34)²                                            

  (5/9)³

(5/2)⁷                                           

EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Si queremos escribir un número fraccionario en forma decimal, bastará con dividir el numerador por el denominador.

Ejemplo:

7/2 = 3.5

Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.

Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica; por ejemplo:

EXPRESION  RACIONAL  DE UN DECIMAL

a)      Decimal  finito:

Para convertir un número decimal en fracción multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número y ponemos el número resultante en el numerador. En el denominador ponemos el número por el que hemos multiplicado el número original.

Ejemplo: Convertir 3,25 en un número fraccionario.
Si multiplicamos 3,25 por 100 desaparecen los decimales  y nos quedaría 325. Como hemos multiplicado por 100, tenemos que dividir por 100 para que el número no cambie. Entonces nos quedaría: 325/100.

       Luego   

b)     Decimal  periódico:

Hay dos tipos de números racionales periódicos:

Los periódicos puros: Un número, o grupo de números, se repite ilimitadamente, desde el primer decimal. (por ejemplo: 3,838383...)

En este caso la fracción buscada es la siguiente:

-Numerador: Parte entera del número inicial junto con el período-parte entera del número inicial
-Denominador: Tantos nueves como cifras tenga el período

Si la fracción obtenida no es irreducible también podemos simplificarla. Explicamos el tema con un ejemplo:

Sea . Multiplicamos  por  (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el período) y después restamos  al resultado. Queda:

Tenemos entonces . Despejamos  y llegamos al resultado esperado:

Como lo que obtenemos es una fracción irreducible nos la quedamos.

De la misma forma, para este otro número llegamos a lo siguiente:

Como en este caso obtenemos una fracción no irreducible la simplificamos dividiendo por numerador y denominador.

 Los periódicos mixtos: un número o grupo de números se repite ilimitadamente a partir del segundo o posterior decimal (por ejemplo 3,27838383...).

Forma 1

En este caso la fracción quedaría de la siguiente manera:

Forma  2

-Numerador: Parte entera junto con parte no periódica junto con período-parte entera junto con parte no periódica
-Denominador: Tantos nueves como cifras tiene el período seguidos de tantos ceros como decimales no periódicos teníamos

Vamos a explicar este caso también mediante un ejemplo:

Sea . Multiplicamos  por  (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) y restamos :

Tenemos entonces que . Volvemos a multiplicar por  (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal que ha quedado):

Despejando  obtenemos los buscado:

Como la fracción obtenida es irreducible nos la quedamos.

Veamos otro ejemplo:

Sea . Multiplicamos  por  (un uno seguidos de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) obteniendo . Multiplicamos ahora por (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte periódica que nos queda) llegando a . Ahora tomamos el número por el que multiplicamos a  en el primer paso, que en este caso es , lo multiplicamos por  y se lo restamos a lo que habíamos obtenido:

Nos queda entonces:

De donde obtenemos el resultado despejando :

Como la fracción obtenida no era irreducible la simplificamos dividiendo por  numerador y denominador.

Y uno más:

Sea . Multiplicamos  por  (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) y nos queda . Ahora multiplicamos por  (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el período que nos ha quedado) y obtenemos . Tomamos ahora el número por el que multiplicamos en el primer paso,  en este caso, lo multiplicamos por  y se lo restamos a lo que habíamos obtenido:

Obtenemos

Despejando :

Como la fracción obtenida es irreducible nos quedamos con ella.

TALLER:
         

Multiplicación  y División de racionales

5/12 × 7/9

7/12×8/9

 111/25×17/81

15/63×10/26

 27/13×36/45

 5/6÷10/6 

15/13÷30/13

7/19÷49/19

5/6÷10/2

 7/3÷3/27

TALLER                                                                               

1.  Encuentra la forma decimal de los siguientes racionales

       115/19     46/6       

        46/4    115/9  

       150/19     332/18  

2.  Encuentra la forma racional de siguientes decimales:               

 2,82   ;   35,122   ;    15,17  ;  4,615  ;  23,823       

TALLER                                                                               

Calcula las siguientes sumas de números decimales.

12,435 + 142,36 + 8,7 =

32,46 + 7,182 + 146,8 =

243,18 + 16,5 + 153,216 =

325,9 + 8,75 + 37,296 =

Calcula las siguientes restas de números decimales.

El resultado de sumar dos números racionales es otro número racional.

4,3 - 2,84 =

52,61 - 13,72=

49,8 - 31,96 =

123,7 - 98,49 =

214,8 - 96,72 =

416,7 - 392,18

TALLER:  XXVI                                                                              

Multiplicación de números decimales

resuelve. Las  siguientes potencias  de 10

3,25x 10=

3,25 x 100 =

3,25 x 1.000 =

3,25 x 10.000 =

3,25 x 100.000 =

3,25 x 1.000.000 =

Calcula las siguientes multiplicaciones de números decimales.

32,43 x 2,4 =

4,131 x 3,2 =

431,4 x 3,5 =

25,49 x 31,3 =

289,1 x 2,13 =

49,63 x 2,14 =

TALLER 

DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR  POTENCIAS DE 10

Calcula.

81,2 ÷  10 =

81,2 ÷ 100 =

81,2 ÷ 1.000 =

81,234 ÷ 10.000 =

81,22345 ÷ 1 00.000 =

81,232 ÷ 1.000.000

Calcula.

(4,32 + 71,6 + 18,1) ÷ 10

(3,71 + 81,6 + 18,214 ) ÷ 100

(482,14 - 18,186)  ÷ 10.000

Calcula las siguientes divisiones.

4,326 ÷ 3         =

39,120 ÷ 6       =

2.875 ÷ 2,3     =

5.490 ÷ 1,22   =

958,5 ÷ 21,3    =

799,46 ÷ 1,42

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES

 Las expresiones

tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias:

En los dos ejemplos anteriores se ha multiplicado un denominador del tipo 
por otro radical del mismo índice, 
, y tal que el producto de sus bases am, ap, sea una potencia de an. En consecuencia, ha habido que multiplicar el numerador por la misma expresión.

En los dos ejemplos anteriores se ha utilizado la identidad (a + b)(a - b) = a² - b² para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador multiplicándolo por la expresión correspondiente que, por tanto, también ha multiplicado al numerador.

LOS NÚMEROS IRRACIONALES

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

Existen números que poseen expresión decimal infinita no periódica, los que reciben el nombre de Números Irracionales (II) ; luego:

   = 1,414213562.........
 : 1.732050808
: 2.236067977

 : 3.16227766

El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

 = 3.141592653589...

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459...

El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

REPRESENTACION DE ALGUNOS IRRACIONALES EN LA RECTA NUMERICA

También los números irracionales, las raíces, por ejemplo, se representan en la recta.

Por ejemplo, para calcular el punto que representa el número Ö2 realiza los siguientes pasos:

• Levanta sobre la recta un cuadrado cuyo lado sea el segmento unidad entre el 0 y el 1. Según el teorema de Pitágoras, la diagonal del cuadrado mide Ö2.
• Utiliza un compás para trasladar esa diagonal sobre la recta. El punto de corte del arco del compás sobre la recta representa el número     √2.

                      

               

OPERACIONES EN LOS IRRACIONALES:

Operaciones con números irracionales

En cuanto a las operaciones con números irracionales es necesario tener en cuenta lo siguiente:

Dos irracionales cuya suma resulta un irracional.

Dos irracionales cuyo producto es un irracional.

Dos irracionales cuya suma  es un racional.

Dos irracionales cuyo producto es un racional.

Dos irracionales cuya división resulta un racional.

Como podemos notar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división no son

operaciones bien definidas en los números irracionales. 

Dados dos números irracionales no siempre la suma, resta, multiplicación o división de dichos números  resulta un número irracional. Los  números irracionales no se  comportan, con respecto a las operaciones, de manera similar a los números racionales. Sin embargo y  a pesar de su extraño comportamiento tenemos dos afirmaciones que siempre son válidas:

1. Si  a es racional y b es irracional entonces la suma a + b siempre es irracional.

2. Si  a ≠ 0 es racional y  es irracional entonces el producto  b · a  siempre es irracional.

En virtud de estas afirmaciones podemos decir que:

ƒ + 32 es irracional.

ƒ 5·2 es irracionalsobre la diferencia con los racionales.

Un número racional es aquel que puede ser expresado como el cociente entre dos números enteros, por ejemplo 2/3.

Si dividimos 2 dividido 3 optendremos 0,6666666.....

Observen que hay una "lógica" o "racionalidad" en la parte decimal.

Y cual es dicha racionalidad ??

La respuesta es que luego de un " 6 " le sigue otro " 6 " y asi hasta el infinito.

En la fracción 7/6 cuya división da 1,1666666..... la racionalidad es que luego de un " 1 " sigue un  " 6 " y a ese  " 6 " le siguen mas " 6 " hasta el infinito.

Por lo tanto, en los racionales, debido a que existe una cierta "racionalidad" se los puede expresar (método) como el cociente entre dos enteros, justamente porque existe una lógica o receta, que se encontró para poder expresarlos como una fracion entre enteros.

Pero, por ejemplo, la raiz de " 2 " no posee esa lógica o receta.....si vemos algunos de sus decimales :

√ 2 = 1,414213562 notamos que al comienzo tenemos un " 4 " al que le sigue un " 1 " luego de nuevo un " 4 " pero cuando creiamos que teniamos algo repetitivo o "receta" o " lógica " nos encontramos que aparece un " 2 " luego vuelve un " 1 " ...cambia a un " 3 "..." 5 "..etc.....no hay una logica o "racionalidad"

Y por lo tanto, no se puede expresar como el cociente de dos números enteros.

Vamos ahora a ver como trabajamos (operamos) con estos números irracionales.

Para ello veremos a que se llama y como se hace la extración de radicales o radicandos, ya que lo usaremos, o podriamos usar, en las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números irracionales.

Sea el ejemplo  √ 8 

Sabemos que  8 es  2³  entonces tenemos  

Veamos el caso : entonces descomponiendo en factores primos al 128

         128     2

           64     2

           32     2 

           16     2

             8     2

             4     2

             2     2     entonces  128 = 2⁷

1         1

Otro :    

Veamos el caso : entonces descomponiendo en factores primos al 256

        256     2

        128      2

          64      2 

          32      2

          16      2

            8       2

4                2     entonces  256 = 2⁸

2          2

1

Pues veamos también  un ejemplo :    

SUMA DE NÚMEROS IRRACIONALES

10√10 - 9√10 = √10
9π + 14π = 23π
√2 + 2√2 =  3√2
6√7 - 8√7=  -√7

·         Producto: definido como  Si los dos radicales tuvieran índices diferentes, se calcularía el mínimo común múltiplo entre ambos y se reducirían ambos radicales a un índice común. Por ejemplo, 

·         Cociente:  con las mismas salvedades que el producto.

·         Potencia:

·         Radicación: definido como 

MULTIPLICACION

Radicales del mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

DIVISION

Dividir:

TALLER    XXVIII 

Operaciones en los irracionales:

√2  ×   √8                                  5√ 3  +  7√3           2√5  -   3 √ 5         6√11   +   8√11

5√7  ×  12 √7                         3√13  ×    5√13        √ 7  ×   √9              5√12   ×    6√12

18 √4  ÷    √ 7                         21√11 ÷  7 √11      6 ℮ ÷   3℮           

(6 √6  ×  √ 6 )3                        ( 7√9  ×  2√11  ×   3√13)2

TALLER  XXIX

Encuentra el valor de “X” en las siguientes ecuaciones en los diferentes sistemas numéricos.

      28x - 3 = 86

      32x - 12 = 148

      18,7x – 1,2 = 14,92

      24,7 – 2,3x = 16,92

      28,7 + 2,6x = 14,92

      28,24x + 8,5 = 142,923

      28,23x – 5,6 = 145,92

      22,17 x- 6,13 = 165,92

      2/7x – 1/3 = 124,123

      2/8x – 2/9 = 22/48

      4/12 – 3/23x = 12/63

        4,326 X/3 =   32,156

       42,56  -  267,05X = 39,120

     412,16X+7,12= 52,6

TALLER  XXX

Resuelve  los siguientes polinomios numéricos.

      (5√343 + 72 + 83) ÷  (2 × (32 + 83 + 93) )

     -5. (4 + √16 + √81) ÷10 + 3. (√64 + 7 + 9)

     -3. (44 - 63 + 18) ÷10 + (-3). (71 - 7√128 + 8 )

     3,5. (6,32 + 71,6 +18,1) ÷10 +2. (8,72 + 82,8 + 18,214 )

      (43 + √169 + √36) ÷ 3.(√10000 - √49)

       (+9154) - (-1342) - (+√1600) - (-1583) - (-√289) - (√225) =

                                                                                                                                   

 

Números Reales(R)

Este conjunto está formado por la unión de todos los anteriores conjuntos númericos, en forma resumida se puede decir que esta constituido por la unión de los racionales con los irracionales: 

R=Q U Q'

Puede ser representado en la recta real cuyo  punto central se encuentra el valor nulo o 0, y en el cual puede ser ubicado en forma exacta o aproximadamente , cualquier valor real.

            

              CONJUNTOS NUMÉRICOS